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广东省中山市数学竞赛试题及答案 中山市初三数学竞赛多少分能拿一等奖?

2021-06-23 23:40:22田径
中山市初三数学竞赛多少分能拿一等奖?2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)1.已知 , , ,那么 的大小关系是 ( C )A.
广东省中山市数学竞赛试题及答案 中山市初三数学竞赛多少分能拿一等奖?

中山市初三数学竞赛多少分能拿一等奖?

2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

第一试

一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)

1.已知 , , ,那么 的大小关系是 ( C )

A. B. C. D.

2.方程 的整数解 的组数为 ( B )

A.3. B.4. C.5. D.6.

3.已知正方形ABCD的边长为1,E为BC边的延长线上一点,CE=1,连接AE,与CD交于点F,连接BF并延长与线段DE交于点G,则BG的长为 ( D )

A. B. C. D.

4.已知实数 满足 ,则 的最小值为 ( B )

A. . B.0. C.1. D. .

5.若方程 的两个不相等的实数根 满足 ,则实数 的所有可能的值之和为 ( B )

A.0. B. . C. . D. .

6.由1,2,3,4这四个数字组成四位数 (数字可重复使用),要求满足 .这样的四位数共有 ( C )

A.36个. B.40个. C.44个. D.48个.

二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)

1.已知互不相等的实数 满足 ,则 .

2.使得 是完全平方数的整数 的个数为 1 .

3.在△ABC中,已知AB=AC,∠A=40°,P为AB上一点,∠ACP=20°,则 = .

4.已知实数 满足 , , ,则 = .

第二试 (A)

一、(本题满分20分)已知直角三角形的边长均为整数,周长为30,求它的外接圆的面积.

解 设直角三角形的三边长分别为 ( ),则 .

显然,三角形的外接圆的直径即为斜边长 ,下面先求 的值.

由 及 得 ,所以 .

由 及 得 ,所以 .

又因为 为整数,所以 .

根据勾股定理可得 ,把 代入,化简得 ,所以

因为 均为整数且 ,所以只可能是 解得

所以,直角三角形的斜边长 ,三角形的外接圆的面积为 .

二.(本题满分25分)如图,PA为⊙O的切线,PBC为⊙O的割线,AD⊥OP于点D.证明: .

证明:连接OA,OB,OC.

∵OA⊥AP,AD⊥OP,∴由射影定理可得 , .

又由切割线定理可得 ,∴ ,∴D、B、C、O四点共圆,

∴∠PDB=∠PCO=∠OBC=∠ODC,∠PBD=∠COD,∴△PBD∽△COD,

∴ ,∴ .

三.(本题满分25分)已知抛物线 的顶点为P,与 轴的正半轴交于A 、B ( )两点,与 轴交于点C,PA是△ABC的外接圆的切线.设M ,若AM//BC,求抛物线的解析式.

解 易求得点P ,点C .

设△ABC的外接圆的圆心为D,则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上,设点D的坐标为 .

显然, 是一元二次方程 的两根,所以 , ,又AB的中点E的坐标为 ,所以AE= .

因为PA为⊙D的切线,所以PA⊥AD,又AE⊥PD,所以由射影定理可得 ,即 ,又易知 ,所以可得 .

又由DA=DC得 ,即 ,把 代入后可解得 (另一解 舍去).

又因为AM//BC,所以 ,即 .

把 代入解得 (另一解 舍去).

因此,抛物线的解析式为 .

第二试 (B)

一.(本题满分20分)已知直角三角形的边长均为整数,周长为60,求它的外接圆的面积.

解 设直角三角形的三边长分别为 ( ),则 .

显然,三角形的外接圆的直径即为斜边长 ,下面先求 的值.

由 及 得 ,所以 .

由 及 得 ,所以 .

又因为 为整数,所以 .

根据勾股定理可得 ,把 代入,化简得 ,所以

因为 均为整数且 ,所以只可能是 或

解得 或

当 时, ,三角形的外接圆的面积为 ;

当 时, ,三角形的外接圆的面积为 .

二.(本题满分25分)如图,PA为⊙O的切线,PBC为⊙O的割线,AD⊥OP于点D,△ADC的外接圆与BC的另一个交点为E.证明:∠BAE=∠ACB.

证明:连接OA,OB,OC,BD.

∵OA⊥AP,AD⊥OP,∴由射影定理可得

, .

又由切割线定理可得 ,

∴ ,∴D、B、C、O四点共圆,

∴∠PDB=∠PCO=∠OBC=∠ODC,

∠PBD=∠COD,∴△PBD∽△COD, ∴ ,

∴ ,∴ .

又∠BDA=∠BDP+90°=∠ODC+90°=∠ADC,∴△BDA∽△ADC,

∴∠BAD=∠ACD,∴AB是△ADC的外接圆的切线,∴∠BAE=∠ACB.

三.(本题满分25分)题目和解答与(A)卷第三题相同.

第二试 (C)

一.(本题满分20分)题目和解答与(B)卷第一题相同.

二.(本题满分25分)题目和解答与(B)卷第二题相同.

三.(本题满分25分)已知抛物线 的顶点为P,与 轴的正半轴交于A 、B ( )两点,与 轴交于点C,PA是△ABC的外接圆的切线.将抛物线向左平移 个单位,得到的新抛物线与原抛物线交于点Q,且∠QBO=∠OBC.求抛物线的解析式.

解 抛物线的方程即 ,所以点P ,点C .

设△ABC的外接圆的圆心为D,则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上,设点D的坐标为 .

显然, 是一元二次方程 的两根,所以 , ,又AB的中点E的坐标为 ,所以AE= .

因为PA为⊙D的切线,所以PA⊥AD,又AE⊥PD,所以由射影定理可得 ,即 ,又易知 ,所以可得 .

又由DA=DC得 ,即 ,把 代入后可解得 (另一解 舍去).

将抛物线 向左平移 个单位后,得到的新抛物线为

.

易求得两抛物线的交点为Q .

由∠QBO=∠OBC可得 ∠QBO= ∠OBC.

作QN⊥AB,垂足为N,则N ,又 ,所以

∠QBO= =

.

又 ∠OBC= ,所以

.

解得 (另一解 ,舍去).

因此,抛物线的解析式为 .